Az előzőekben azt láttuk, hogyan működik az egyszerű többség két alternatíva között, és hogy ennek milyen tulajdonságai vannak. De hogyan terjeszthetjük ki ezt az elvet kettőnél több alternatívás választásra? Erre tágan értelmezve sok lehetőség van, például mondhatnánk, hogy a "klasszikus" kétfordulós választás is ezt csinálja: két jelölt jut a második fordulóba, ahol az egyszerű többség elve érvényesül. De ez már egy-két csúsztatást feltételez: egyrészt nem tartanak második fordulót, ha egy jelöltnek "abszolút többsége" van - de ez nem is feltétlenül baj, mert ezt vehetjük csak egyszerűsítésnek. Mint látni fogjuk, ez a fajta abszolút többség azt jelenti, hogy mindenféleképp megvan az egyszerű többség minden jelölttel szemben és relatív többség is. (de ezek már a konkrét szavazási rendszer egyéb tulajdonságaiból adódnak!) Másrészt, és ez sokkal fontosabb: hogyan választjuk ki azt, hogy ki kerül a második fordulóba? Általában relatív többségi szabállyal, de még nem állapítottunk meg, hogy ez az egyszerű többség több alternatívás megfelelője lenne. Sőt, ha az lenne, akkor nem is tartanánk második fordulót!
Az egyszerű többség logikus megfelelője több választható alternatívára az, amikor azt az alternatívát választjuk, amely minden másikkal szemben egyszerű többséget élvez. Ezt szokták "felfedezőiről" Condorcet-győztes (néha Llull-győztes) alternatívának nevezni, nevezzük magyarul általános egyszerű többségi alternatívának. De hogyan nézne ki egy ilyen szavazás? És mi a viszonya ennek a fajta többségnek az abszolút, relatív és egyéb többségekkel? Vajon mindig van egy ilyen általános egyszerű többségi győztes jelölt?
A szavazólap
Ha az egyszerű többséget több, mint két jelöltre nézzük, akkor előbb meg kell tudnunk, a szavazók hogy döntenének két tetszőleges jelölt között. Ezért ott kell kezdenünk, hogy egyáltalán hogyan tudnak a szavazók szavazni egy ilyen rendszerben? Minden jelöltet minden jelölttel össze kell hasonlítaniuk? Nem. Egyrészt, mert ez túlságosan megterhelőnek tarthatjuk, így ha nem szükséges, szeretnénk elkerülni. Másrészt, mert ez elkerülhető, ha szavazókat eléggé következetesnek tartjuk. Ha egy következetes szavazó azt mondja nekünk, hogy a körtét jobban szereti mint a banánt, és a banánt jobban szereti, mint az almát, akkor feltételezhetjük, hogy a a körtét jobban szereti, mint az almát (matematikaibb nyelven ezt hívják a preferenciák tranzitivitásának). Emiatt elég bekérnünk a szavazóktól egy rangsort, ami pl. így nézne ki:
Körte
Szilva
Banán
Alma
Annak nincsen akadálya, hogy a szavazó egyes alternatívák között semleges legyen. Pl.
Körte és Szilva
Banán
Alma
Itt is meg tudjuk állapítani, hogy a szavazó jobban szereti mind a szilvát, mind a körtét a banánnál és az almánál, és azt is, hogy a banánt preferálja az almához képest. Ez pedig elég is ahhoz, hogy a szavazatát figyelembe vegyük minden páros összehasonlításban, mindössze annyit jelent, hogy a körte és szilva közti versenyben semlegesnek tekintjük majd. De ez nem baj, mert a semleges szavazatok nem zavarnak be az egyszerű többség megállapításánál.
Nincsen akadálya annak sem, hogy a szavazók rangsorolás helyett egy skálán értékeljék a jelölteket. Ebből is le tudjuk szűrni a rangsort, de a preferencia megállapításánál nem lesz jelentősége, hogy valaki az körtét 9/10-esnek értékelte és az almát 2/10-esnek, vagy ha a körtét 6/10-esnek és az almát 4/10-esnek: ugyanúgy a körtét preferálja. Ha egyenlő pontszámot adna kettő alternatívának, akkor ezt semlegesnek számolnánk. Az értékelős szavazólap használatának csak annyi a korláta, hogy ha kevesebb fokú skálán lehet értékelni, mint ahány jelölt van (pl. 3 fokú skálán lehet értékelni, de 4 jelölt van), azzal rákényszerítjük a szavazót, hogy egyszer jelölteket egy szintre tegyen, akkor is ha tudna dönteni a kettő között.
Mindig van-e általános egyszerű többségi jelölt?
A rövid válasz, hogy nem mindig van egy ilyen jelölt, de ha nincs is egy ilyen jelölt, van több olyan jelölt, akik együtt egy olyan halmazt alkotnak, ami megfelel egy ilyen jelöltnek. Legrosszabb esetben az összes jelölt benne van ebben a halmazban, ami azt jelenti, hogy általános egyszerű többség helyett más, kiegészítő elvvel kell dönteni. De ha az egyszerű többség, pont arra jó két jelölt estén, hogy szinte mindig eredményes, akkor miért nem mindig ilyen egyszerű több jelölt esetén? A döntetleneket is leszámítva van egy érdekes jelenség, amit Condorcet-paradoxonnak is hívnak. Nézzük egy példát egyszerűen 3 szavazóval:
A képen látjuk a 9 szavazó rangsorolt preferenciáit. Ebből mindig egyértelműen meg tudjuk állapítani két jelölt között az egyszerű többségi győztest:
Piros egyszerű többséggel győz Kék ellen (4+2=6 szavazó 3 ellen)
Kék egyszerű többséggel győz Zöld ellen (4+3=7 szavazó 2 ellen)
Zöld egyszerű többséggel győz Piros ellen (3+2=5 szavazó 4 ellen)
A probléma csak az, hogy ha Piros legyőzi Kéket, aki legyőzi Zöldet, aki legyőzi Pirost... akkor körkörös a kollektív preferencia. Nem tudunk EGY általános egyszerű többségi jelöltet választani. Vegyük észre, a "paradoxon" itt az, hogy egyenként minden szavazó preferenciája racionális (egyik sem körkörös), de a kollektív preferenciáról ez nem mondható el. Később lesz majd szó arról, mit lehet ilyenkor tenni, hogyan tudjuk feloldani ezt a döntetlent, vagyis inkább eredménytelen választást.
Az általános egyszerű többség vs. abszolút és relatív többség
Azt már láttuk, hogy (a döntetlen leszámítva) egyszerű többségi győztes két jelölt között mindig van, ellentétben például azzal ha a semleges szavazatokat is számoljuk és abszolút többséget várunk el. Ha már három jelölt van, akkor ugyanígy el tudjuk képzelni, hogy egyik jelöltnek sincsen abszolút többsége, ha például minden szavazó csak egy jelöltre szavaz(hat). Attól, még, hogy egyik jelöltnek sincsen abszolút többsége, általános egyszerű többséggel többséggel bíró jelöltet még találhatunk. Például:
40 szavazó kedvence a Banán, második preferenciája a Körte (harmadik az Alma)
35 szavazó kedvence az Alma, második preferenciája a Körte (harmadik a Banán)
25 szavazó kedvence az Körte, második preferenciája az Alma (harmadik a Banán)
Első preferenciák (kedvencek) között Banánnak relatív többsége van (ő kapná a legtöbb szavazatot egy X-es választáson, ha mindenki őszinte), de nincs abszolút többsége (nincs több szavazata, mint a szavazatok fele, azaz 50). De melyik opciónak van általános egyszerű többsége? Akármilyen meglepő, de a Körtének (aki a legkevesebb szavazónak a kedvence), hiszen 40+25=65 szavazó preferálja az Almához képest, és 35+25=60 szavazó preferálja a Banánhoz képest. Ha jobban megnézzük, ez talán mégsem olyan furcsa, hiszen az Alma és a Körte szavazói egymás kedvencét jelölték meg másodiknak, a Banán szavazók pedig a Körtét. Így nemcsak az egyszerű többség elvével juthatunk arra a következtetésre, hogy a Körte az ideális választást, hanem például mondhatjuk, hogy a győztes mindenképp vagy az Alma, vagy a Körte kell, hogy legyen, hiszen 60 szavazó ezek egyikét szeretné a Banán helyett (csak megosztják a szavazatokat azzal, hogy a kedvencükre szavaznak, és közben elhúz mellettük a Banán). Ezen belül viszont már egyes rendszerek más választanának győztesnek, de erről majd bővebben az utolsó részben. Annyit még észrevehetünk, ha mindenki nem csak egyet X-elhetne, hanem muszáj lenne kettőt bejelölni (őszintén!), akkor Banán 40, Alma 60 és Körte 100 szavazatot kapna. Ebben az esetben Körtének nemcsak, hogy abszolút és relatív többsége, hanem egyhangú támogatottsága lenne, sőt mellette még az Alma is abszolút (de nem relatív) többséget szerezne a 100 szavazóhoz viszonyítva. Ez is arra mutat rá, hogy az abszolút, relatív és egyszerű többségek különböző síkon értelmezhetők:
Az abszolút többséget mindig egy (abszolút) mércéhez képest nézzük, és azt jelenti, hogy egy alternatívára leadott, valamilyen módszer szerint összeszámolt szavazatszám (vagy pontszám) több, mint ennek a mércének a fele. A mércétől függően lehet nulla, egy vagy több opciónak is abszolút többsége, attól függetlenül, hogy van-e relatív többsége - csak plusz feltételek bevezetése után mondhatjuk, hogy az abszolút többség "erősebb" a relatív többségnél. Ha csak az első preferenciákat nézzük, akkor az abszolút többség erősebb, mint relatív többség és az általános egyszerű többség: Ha egy jelöltet a szavazók, több, mint felének a kedvence, ez a jelölt szükségszerűen legyőz minden más jelöltet egyszerű többséggel is. Viszont, ha nincs abszolút többségi jelölt az első preferenciák alapján, attól még közös egyszerű többségi jelöltet találhatunk. Másképp fogalmazva: egy közös egyszerű többséget jelöltet választó szabály mindig megválasztja a kedvencek szerint abszolút többségi jelöltet, de léteznek olyan szabályok, amik az ilyen abszolút többségi jelöltet megválasztanák, de a közös egyszerű többségi jelöltet nem mindig.
A relatív többséget ugyanúgy mindig az a már valamilyen módon összegzett szavazatszámok (pontszámok) tekintetében értelmezzük, de itt nem egy előre megállapított mércéhez viszonyítunk, a hanem az alternatívák pontszámait egymáshoz. Így alapesetben egy relatív többségi jelölt van, de természetesen kiterjeszthetjük a fogalmat úgy, hogy az első valahány (n) relatív többségi jelöltre vagyunk kíváncsiak, és akkor döntetlenek hiányában pont annyi "relatív többségi" alternatíva lesz, ahányat keresünk. Ha csak az első preferenciákat nézzük, akkor a relatív többségi jelöltnek nemhogy nem mindig van abszolút többsége, de általános egyszerű többsége sem. Egy olyan rendszer, ami csak a a kedvencek közötti relatív többséget választja meg, mindig megválasztja az abszolút többségi jelöltet (ha van ilyen), de nem mindig választja meg a közös egyszerű többségi jelöltet, akkor se, ha van ilyen.
Az egyszerű többséget mindig két alternatíva vonatkozásában nézzük, általános egyszerű többségi jelöltet pedig akkor tudunk megállapítani, ha egy jelöltnek minden más jelölttel szemben egyszerű többsége van. Ilyen jelöltet könnyebb találni, mint olyat, aki az abszolút többségnek a kedvence, de ez azt is jelenti, hogy egy erősebb feltétel (elvárás) egy választási rendszerrel szemben, hogy mindig ezt a jelöltet válassza. Ahogy már az előzőekben láttuk, attól még, hogy egy rendszer mindig az abszolút többségi jelöltet választja meg, még nem mindig választja meg a közös egyszerű többségi jelöltet.
Melyik rendszerek választanak mindig általános egyszerű többségi jelöltet?
Az előzőekben láttuk, hogy az egy X-es, egyfordulós relatív többségi rendszer, ahol a mindenki csak az első preferenciáját jelöli és a legnagyobb pontszámot szerző jelölt nyer, nem mindig választja meg a általános egyszerű többségi jelöltet. Ha viszont van abszolút többségi győztes, ezt mindig megválasztja, ahogy természetesen az egyhangú győztest is.
A kétfordulós rendszerrel kapcsolatban nagyon hasonló a helyzet, annyi különbséggel, hogy HA az általános egyszerű többségi rendszer a második fordulóba jut (és csak kettő jut tovább), akkor jogosan várhatjuk, hogy a második fordulóban ő nyer akár a relatív többségi jelölttel szemben. De ha nem jut a második fordulóba, semmi garancia nincs rá, hogy az általános egyszerű többségi jelölt nyer. Ugyanez a helyzet az azonnali többfordulós szavazással, ahol szintén csak akkor nyer a Condorcet-győztes, ha nem esik ki a relatív kisebbségi elven történő szűrő miatt. A kétfordulós rendszert gyakran téves egyszerűsítéssel szokták abszolút többségi típusú szavazásnak nevezni. Ezzel az a baj, hogy ha úgy értjük, hogy ha van abszolút többségi jelölt, akkor őt választja meg, az igaz, de az egyfordulóstól ebben nem különbözik. Viszont ha nincs az első fordulóban abszolút többség, akkor csak a top 2 jelölt közül választ egyszerű többségi győztest (ha pedig több jelölt jut tovább, még ez se igaz), nem pedig az össze jelölt közül választ általános egyszerű többségi elv szerint. Ha pedig úgy értjük az abszolút többséget, hogy a második fordulóban mindenképp ezzel nyer az egyik két jelölt esetén, ez csak akkor van így, ha a második fordulóban érvényesen szavazókat nézzük, ez pedig egyszerű többség. De ha ez egyszerű többséget tartjuk "abszolút többségi típusnak", akkor a kétfordulós nem túl speciális, egyrészt mert nem mindig választja meg azt aki mindig egyszerű többségi győztes, másrészt, mert ennyi erővel két véletlenszerűen sorsolt jelöltet a második fordulóba juttató jelöl is "abszolút többségi lenne".
A Borda-féle pozíciós szavazás (amikor a rangsorokat egyenlő távra levő pontokká konvertálják, pl. 1. hely 3 pont, 2. hely 2 pont stb...) az egy és többfordulós (első preferenciás) szavazásokhoz képest még az abszolút többségi jelöltet se választja meg mindig. Ebből azt is tudjuk, hogy az általános egyszerű többségi jelöltet se választhatja meg mindig, mivel az abszolút többségi jelölt mindig általános egyszerű többségi jelölt is. Egy másik fajta pozíciós szavazás, amikor csak mindenkinek a legkevésbé kedvelt jelöltjét nézzük csak, természetesen "mínusz" szavazattal (ez ugyanaz mintha egy kivételével minden jelöltre kéne szavazni, és a legtöbb ponttal rendelkező jelölt nyer vagy ha mindenki egy jelöltre szavaz és a legkevesebb ponttal rendelkező jelölt nyer). Ez a fajta szavazás még az egyhangúság követelményét se teljesíti: ha minden szavazó kedvence is egy jelölt, még nem biztos, hogy nyerne, ugyanúgy, ahogy ha sima egyfordulós relatív többségi szavazásnál ha minden szavazó (szigorúan) utolsó preferenciája egy jelölt, még nem biztos, hogy (holtverseny nélkül) utolsó helyezett lesz a ez a jelölt.
Azon rendszerek csoportját, ami az általános egyszerű többséget megválasztják (és ha nem ilyen egyszerű, gyakorlatilag különböző "döntetlen" szabályt használnak), Condorcet-módszereknek is szokták nevezni. Ezek mindig páros összehasonlítást igényelnek, de nem mindig kell minden jelöltet mindegyikkel összehasonlítani (vannak egyszerűsítések).